题目内容
已知正方形ABCD的边长为a，EF∥GH，且EF与GH之间的距离等于a．
（1）如图1，若EF经过A，GH与BC、CD分别交于点I、J．作AP⊥GH，垂足为P．求证：△API≌△ABI，且∠IAJ=45°；
（2）如图2，若EF与AD、AB分别相交于点K、L，GH与BC、CD分别相交于点I、J，IK与JL相交于点M．作KP⊥GH，垂足为P，作KQ⊥BC，垂足为Q．求证：△KPI≌△KQI，且∠IMJ=45°．
（1）如图1，若EF经过A，GH与BC、CD分别交于点I、J．作AP⊥GH，垂足为P．求证：△API≌△ABI，且∠IAJ=45°；
（2）如图2，若EF与AD、AB分别相交于点K、L，GH与BC、CD分别相交于点I、J，IK与JL相交于点M．作KP⊥GH，垂足为P，作KQ⊥BC，垂足为Q．求证：△KPI≌△KQI，且∠IMJ=45°．
考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质
专题：
分析：（1）由正方形的性质就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就可以得出∠BAI=∠PAI=
∠BAP，再由△APJ≌△ADJ就可以得出∠DAJ=∠PAJ=
∠DAP就可以得出结论；
（2）由正方形的性质就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就有∠JIM=∠MIS，如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，可以得出△MOI≌△MSI，就有∠OMI=∠IMS，△RMJ≌△OMJ得出∠RMJ=∠OMJ，从而得出结论．
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（2）由正方形的性质就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就有∠JIM=∠MIS，如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，可以得出△MOI≌△MSI，就有∠OMI=∠IMS，△RMJ≌△OMJ得出∠RMJ=∠OMJ，从而得出结论．
解答：证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a．
∵AP⊥GH，
∴∠ABI=∠API=∠BAD=∠APJ=90°．
∵EF与GH之间的距离等于a
∴AP=AB=AD=a．
在RT△ABI和RT△API中，
，
∴RT△ABI≌RT△API（HL）
即△API≌△ABI．
∴∠BAI=∠PAI=
∠BAP．
在Rt△APJ和Rt△ADJ中
，
∴Rt△APJ≌Rt△ADJ（HL）
∴∠DAJ=∠PAJ=
∠DAP．
∵∠BAP+∠DAP=90°
∴∠IAJ=∠PAI+∠PAJ=
（∠BAP+∠DAP）=45°；
（2）如图2，∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=∠DAB=90°．
∵KP⊥GH，KQ⊥BC，
∴∠KPI=∠KQI=∠KQB=90°．
∴∠B=∠AQB=∠DAB=90°，
∴四边形KABQ为矩形，
∴KQ=AB．
∵EF与GH之间的距离等于a
∴KP=AB=a．
∴KP=KQ．
在RT△KPI和RT△KQI中，
，
∴Rt△KPI≌Rt△KQI（HL）
如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，
∴∠MRJ=∠MOJ=∠MOI=∠MSI=90°．
∵Rt△KPI≌Rt△KQI，
∴∠JIM=∠MIS．
在△MOI和△MSI中，
，
∴△MOI≌△MSI（AAS）．
∴∠OMI=∠IMS．
同理可得△RMJ≌△OMJ，
∴∠RMJ=∠OMJ，
∵∠IMJ=∠IMO+∠JMO，
∴∠IMJ=
（∠RMO+∠OMS）．
∵∠RMO+∠OMS=90°
∴∠IMJ=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a．
∵AP⊥GH，
∴∠ABI=∠API=∠BAD=∠APJ=90°．
∵EF与GH之间的距离等于a
∴AP=AB=AD=a．
在RT△ABI和RT△API中，
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∴RT△ABI≌RT△API（HL）
即△API≌△ABI．
∴∠BAI=∠PAI=
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在Rt△APJ和Rt△ADJ中
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∴Rt△APJ≌Rt△ADJ（HL）
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∵∠BAP+∠DAP=90°
∴∠IAJ=∠PAI+∠PAJ=
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（2）如图2，∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=∠DAB=90°．
∵KP⊥GH，KQ⊥BC，
∴∠KPI=∠KQI=∠KQB=90°．
∴∠B=∠AQB=∠DAB=90°，
∴四边形KABQ为矩形，
∴KQ=AB．
∵EF与GH之间的距离等于a
∴KP=AB=a．
∴KP=KQ．
在RT△KPI和RT△KQI中，
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∴Rt△KPI≌Rt△KQI（HL）
如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，
∴∠MRJ=∠MOJ=∠MOI=∠MSI=90°．
∵Rt△KPI≌Rt△KQI，
∴∠JIM=∠MIS．
在△MOI和△MSI中，
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∴△MOI≌△MSI（AAS）．
∴∠OMI=∠IMS．
同理可得△RMJ≌△OMJ，
∴∠RMJ=∠OMJ，
∵∠IMJ=∠IMO+∠JMO，
∴∠IMJ=
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∵∠RMO+∠OMS=90°
∴∠IMJ=45°．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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