Question

如图：矩形OABC中A（4，0），C（0，3）．动点P从A→B→C以每秒1个单位的速度运动．记OP在矩形中扫过的面积为S，运动时间为t
探究：
（1）当t为何值时，线段OP最长，是多少？
（2）S与t的函数关系？并指出是什么函数关系？
（3）当t为何值时，S=9，此时OP在矩形中扫过的面积是一个什么几何图形？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据图示知，当点P与点B重合时，线段OP最长；
（2）分段函数：点P在线段AB上和点P在线段BC上两段函数．在线段AB上时，S=S_△AOP；在线段BC上时，S=S_梯形OABP；
（3）把S=9代入（2）中的函数解析式，求得相应的t的值，则推知点P所在的位置，根据点P的位置来推断OP在矩形中扫过的面积是何种几何图形．

解答：解：如图，∵四边形OABC是矩形，A（4，0），C（0，3），
∴BC∥OA，OC=AB=3，OA=CB=4，∠OAB=∠ABC=90°．
（1）当点P与点B重合时，OP的长度最大．此时t=3．
在Rt△OAP中，利用勾股定理得到：OP=OB=

OA2+AB2

=

42+32

=5，
综上所述，当t=3时，线段OP最长，为5；

（2）分两种情况：
①当点P在线段AB上时，S=

1

2

OA•AP=

1

2

×4×t=2t（0＜t≤3），该函数是正比例函数；
②当点P在线段BC上时，S=S_梯形OABP=

t-3+4

2

×3=

3

2

t+

3

2

（3＜t≤7），该函数是一次函数．
综上所述，
S=

2t(0＜t≤3)，正比例函数关系 3 2 t+ 3 2 (3＜t≤7)，一次函数关系

；

（3）∵由（2）知，当点P在线段AB上时，S=2t（0＜t≤3），则S_最大=2×3=6．
∴当S=9时，点P在线段BC上．
∴9=

3

2

t+

3

2

，
解得 t=5，
∴点P不与点C重合，即OP与AB不平行，且OP≠AB
又∵BC∥OA，∠OAB=∠ABP=90°．
∴四边形OABP是直角梯形．

点评：本题考查了四边形综合题．涉及到了三角形的面积、梯形的面积的求法，矩形的性质，列函数关系式以及直角梯形的判定方法．注意：在（3）中，推知四边形OABP是直角梯形的过程中，必须先推知OP与AB不平行，且OP≠AB，以排除四边形OABP是矩形和等腰梯形的情况．