Question

2．如图，点E为BC的中点，若∠B=∠AEF=∠C=90°．连接AF
①找出图中所有的相似三角形，并证明；
②说出各边之间的关系；
③说出图中各对相等的角．

Answer 1

分析 ①由∠B=∠AEF=∠C=90°知∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，从而得∠BAE=∠CEF，即可知△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质及BE=EC得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BE}$，即可得△ABE∽△AEF；
②根据相似三角形的对应边成比例可得；
③根据相似三角形的对应角相等可得．

解答 解：①△ABE∽△AEF∽△ECF，
∵∠B=∠AEF=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{EC}$，
∵BE=EC，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BE}$，
∵∠B=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
故△ABE∽△AEF∽△ECF；

②由①知，△ABE∽△AEF∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CF}$=$\frac{AE}{EF}$；

③∵△ABE∽△AEF∽△ECF，
∴∠BAE=∠EAF=∠CEF、∠AEB=∠AFE=∠EFC．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．