Question

7．如图，正比例函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象分别交于M、N两点，已知点M（-2，m）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P为y轴上的一点，当∠MPN=90°时，求出点P的坐标；
（3）若点Q是x轴上一点，且满足△MQN的面积为4，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把M点坐标代入正比例函数解析式可求得m的值，可求得M点坐标，代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式；
（2）联立两函数解析式可求得N点坐标，设P（0，y），可表示出PM、PN和MN，利用勾股定理可得到关于y的方程，可求得y的值，则可求得P点坐标；
（3）设Q（x，0），则可表示OQ的长，利用S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ可得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）∵M（-2，m）在正比例函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象上，
∴m=-$\frac{1}{2}$×（-2）=1，
∴M（-2，1），
∵M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函数表达式为y=-$\frac{2}{x}$；

（2）联立正比例函数和反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴N（2，-1），
设P（0，y），且M（-2，1），
∴PM²=2²+（y-1）²=y²-2y+5，PN²=2²+（y+1）²=y²+2y+5，MN²=（2+2）²+（-1-1）²=20，
∵∠MPN=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴y²-2y+5+y²+2y+5=20，解得y=±$\sqrt{5}$，
∴P点坐标为（0，$\sqrt{5}$）或（0，-$\sqrt{5}$）；

（3）如图，过M作MC⊥x轴，ND⊥x轴，垂足分别为C、D，

则MC=ND=1，
设Q（x，0），则OQ=|x|，
∴S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ=$\frac{1}{2}$OQ•MC+$\frac{1}{2}$OQ•ND=$\frac{1}{2}$|x|×2=|x|，
∴|x|=4，解得x=4或x=-4，
∴Q点坐标为（4，0）或（-4，0）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中求得M点坐标是解题的关键，在（2）中用P点坐标表示出PM、PN的长是解题的关键，在（3）中用Q点的坐标表示出△MQN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．