Question

11．已知圆锥的轴截面为等边三角形，则（1）圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°；（2）圆锥的侧面积与底面积之比为2：1．

Answer 1

分析 如图，设等边△ABC的边长为2a，则圆锥的母线长为2a，底面圆的半径为a，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到$\frac{n•π•2a}{180}$=2πa，解方程求出n即可得到圆锥的侧面展开图的圆心角度数；然后计算圆锥的侧面积和底面积，再计算它们的比．

解答 解：如图，设等边△ABC的边长为2a，则圆锥的母线长为2a，底面圆的半径为a，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
则$\frac{n•π•2a}{180}$=2πa，解得n=180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°；
圆锥的侧面积=$\frac{1}{2}$•2πa•2a=2πa²，底面积=πa²，
所以圆锥的侧面积与底面积之比=2πa²：πa²=2：1．
故答案为180°，2：1．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．