Question

9．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF=BC-CD．
（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF=CD-BC．
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，请求出DG的长（写出求解过程）．

Answer 1

分析 （1）①证出∠BAD=∠CAF，由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，证出∠ACF+∠ACB=90°，即可得出结论；
②由全等三角形的性质得出BD=CF，证出CF=BC-CD即可；
（2）①证出∠BAD=∠CAF，由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，证出∠ACB+∠FCB=135°，得出∠FCB=90°，即可得出结论；
②由全等三角形的性质得出BD=CF，证出CF=CD-BC即可；
（3）由SAS证明△BAD≌△CAF，得出∠ACF=∠ABD=45°，证出∠FCB=∠ACF+∠ACB=90°，得出CF⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得出AC=AB=2$\sqrt{2}$，在Rt△AGC中，得出CG=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，同理BC=4，CD=$\frac{1}{4}$BC=1，在Rt△DCG中，由勾股定理即可求出DG的长．

解答 （1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
故答案为：BC⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD，
故答案为：CF=BC-CD；

（2）解：①成立，②不成立；理由如下：
①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ACB+∠FCB=135°，
∴∠FCB=90°，
∴BC⊥CF，
故答案为：BC⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∵BD=CD-BC，
∴CF=CD-BC，
故答案为：CF=CD-BC；

（3）解：由题意得：∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BC，
在Rt△ABC中，AC=AB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，
∴CG=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
同理BC=4，
CD=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴在Rt△DCG中，DG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题是四边形综合题目，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．