Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：①abc＜0；②b²-4ac＞0；③a+b+c=0； ④a+c=1
其中结论正确的是

 

（填序号）

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线开口方向确定a的符号，再根据对称轴的位置确定b的符号，然后根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，于是可对①进行判断；
根据抛物线与x的交点个数对②进行判断；
由于抛物线过点（-1，2）和（1，0），根据抛物线上点的坐标特征得到a-b+c=2和a+b+c=0，则可对③进行；
把两式相加可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=-

b

2a

＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c=0，所以③正确；
∵抛物线过点（-1，2），
∴a-b+c=2，
∴2a+2c=2，即a+c=1，所以④正确．
故答案为②③④．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．