Question

20．已知：如图，在□ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）根据∠B+∠AFB=90°可得∠BAF=90°，根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，利用平行线的性质可得∠CEF=∠BAF=90°，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论．

解答 证明：（1）在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}∠AED=∠FEC\\∠ADE=∠FCE\\ DE=CE\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．

（2）在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．