Question

11．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B与AB、BC交于E、F，点P是弧$\widehat{EF}$上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD．
（1）求证：△BPC∽△ADC；
（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，从而可证明∠BCP=∠ACD，最后依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似进行证明即可；
（2）如图1所示：先求得△ABC的面积，然后可得到△ADC的面积，依据三角形的面积公式可得到AD的长，然后依据相似三角形对应边长比例可求得PB的长；

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，BC：AC=1：$\sqrt{2}$．
∵PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠PCD=45°，PC：DC=1：$\sqrt{2}$，
∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，
∴∠PCD-∠PCA=∠ACB-∠PCA，
即∠BCP=∠ACD，
∴△BPC∽△ADC．

（2）如图1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴S_△ADC=4．
∵AD∥BC，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AB=4，即 $\frac{1}{2}$×4×AD=4．
∴AD=2．
∵△BPC∽△ADC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，即 $\frac{2}{BP}$=$\sqrt{2}$．
解得BP=$\sqrt{2}$．
∴⊙B的半径为 $\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是圆的有关知识，等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．