Question

17．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，求出∠BAC=∠BCA即可；
（2）求出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理求出BO，求出BD，根据面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；


（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$═2，
∴BD=2OB=4，
∴平行四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．