Question

5．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．

解答 （1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB²+AF²=6²+8²=100=BF²．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AB•AF=$\frac{1}{2}$BF•AE．
∴AE=$\frac{AB•AF}{BF}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．