题目内容
2．如图1，等腰梯形ABCD，已知A点的坐标是（-1，0），点D的坐标是（0，2），CD=4．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若点E在线段OB上，且满足tan∠ODE=2，试判断△ADE的形状；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点E沿E→D→A的方向向点A匀速运动，运动速度是每秒$\sqrt{5}$个单位，同时点Q从E点沿E→O→D的方向向点D匀速运动，运动速度是每秒2个单位，当以PQ为直径的圆与y轴相切时，求运动时间．
分析 （1）作CE⊥AB于E，根据等腰梯形的性质求出OB的长，得到点B的坐标；
（2）根据已知和题意证明∠DAO=∠ODE，得到∠ODE+∠ADO=90°，得到答案；
（3）从PQ在y轴的两侧、根据圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切进行解答．
解答 
解：（1）作CE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BE=OA，
∴OB=OE+EB=CD+OA=5，
∴点B的坐标为（5，0）；
（2）∵tan∠DAO=$\frac{DO}{AO}$=2，tan∠ODE=2，
∴∠DAO=∠ODE，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ODE+∠ADO=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（3）tan∠ODE=2，即$\frac{OE}{OD}$=2，又OD=2，
∴OE=4，
如图2，设P、Q运动的时间为t，则EP=$\sqrt{5}$t，EQ=2t，PQ=t，
∵$\frac{EP}{ED}$=$\frac{EQ}{EO}$，∠PEQ=∠DEO，
∴PQ∥OD，
当OQ=$\frac{1}{2}$PQ时，以PQ为直径的圆与y轴相切，
即4-2t=$\frac{1}{2}$t，
解得，t=$\frac{8}{5}$；
如图3，
由题意得，AQ=6-2t，OQ=2t-5，
∵PQ∥OD，
∴$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{PQ}{OD}$，即$\frac{6-2t}{1}$=$\frac{PQ}{2}$，
解得，PQ=12-4t，
当OQ=$\frac{1}{2}$PQ时，以PQ为直径的圆与y轴相切，
即2t-5=$\frac{1}{2}$（12-4t），
解得t=$\frac{11}{4}$．
所以当t=$\frac{8}{5}$或$\frac{11}{4}$时，以PQ为直径的圆与y轴相切．
点评 本题考查的是等腰梯形的性质、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质，掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
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