Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x²+mx+n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．
（1）则A点坐标为（-3，0）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）在（2）条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得直线与x轴的交点坐标即可求得A点的坐标；
（2）根据点抛物线经过点A和抛物线的顶点坐标在直线上得到有关m和n的方程组，从而求得m和n的值即可；
（3）假设存在这样的点D，使得△DAC与△DCO相似，根据∠ACD=∠DOC+∠CDO得到∠ACD＞∠CDO，从而得到要使得△DAC和△DCO相似，只能∠ACD=∠DCO=90°，即CD⊥x轴，由此推得∠ADO=90°，然后利用CD²=AC×CO得CD=$\sqrt{2}$，从而求得点D的坐标．

解答 解：（1）令y=-x-3=0，解得：x=-3，
故A点的坐标为（-3，0）；

（2）∵抛物线y=x²+mx+n经过点A（-3，0），
∴n=3m-9①，
又抛物线y=x²+mx+n的顶点坐标为B（-$\frac{m}{2}$，$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$）在直线y=-x-3上，
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=$\frac{m}{2}$-3②，
由①、②可得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$，
∵A、B是两个不同的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$不合题意，舍去，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$；

（3）在（2）的条件下，该抛物线与x轴的另一个交点为C（-1，0），
假设存在这样的点D，使得△DAC与△DCO相似，
∵∠ACD=∠DOC+∠CDO，
∴∠ACD＞∠CDO，
∴要使得△DAC和△DCO相似，只能∠ACD=∠DCO=90°，即CD⊥x轴，
∵AC=2，CO=1，
∴∠DOC＞∠DAC，
∴∠DAC=∠CDO，此时∠ADO=90°，
由CD²=AC×CO得，CD=$\sqrt{2}$，
∴点D的坐标为（-1，$\sqrt{2}$）或（-1，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，题目中还涉及到了二元二次方程组的解法的知识和存在性问题的解法，综合性强，难度较大，解题的关键是仔细审题，并了解相似三角形的判定及性质．