Question

16．已知关于x的方程x²-（2k-1）x-k²-1=0．
①当k取何值时，有一个根为1？
②当k取何值时，两根互为相反数？
③当k取何值时，两根互为倒数？

Answer 1

分析 ①把x=1代入原方程求得k的数值即可；
②根据根与系数的关系得到2k-1=0，解得k=$\frac{1}{2}$，然后根据根的判别式确定满足条件的k的值；
③根据已知和根与系数的关系得x₁x₂=-k²-1=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．

解答 解：①把x=1代入原方程得1-（2k-1）-k²-1=0，
解得：k=-1+$\sqrt{2}$或k=-1-$\sqrt{2}$；
②根据题意得2k-1=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
当k=$\frac{1}{2}$时，原方程变形为x²-$\frac{5}{4}$=0，△=0-4×（-$\frac{5}{4}$）＞0，此方程有实数解，
所以当k=$\frac{1}{2}$时，两根互为相反数；
③∵x₁x₂=-k²-1=1，两根互为倒数，
∴k²=-2，
此方程无解，所以不存在k的值，两根互为倒数．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．