Question

20．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点．
（1）BE平分∠ABC吗？若平分，请说明理由．
（2）AE与BE有何位置关系？请说明理由．
（3）AD、BC与AB之间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠1=∠5，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠5，得到AB=BF，根据等腰三角形的性质得到DE=EF，根据全等三角形的性质得到AE=EF，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）BE平分∠ABC，
理由：∵AD∥BC，
∴∠1=∠5，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠5，
∴AB=BF，
∵E是DC的中点，
∴DE=EF，
在△ADE与△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠5}\\{∠3=∠4}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴BE平分∠ABC；
（2）AE⊥BE，
理由：∵AB=BF，AE=EF，
∴AE⊥BE；
（3）AB=BC+AD，
理由：∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∵AB=BF=BC+CF，
∴AB=BC+AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．