Question

15．阅读题：通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时有两个实数根：x₁=$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}$，x₂=$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}$，于是：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：
关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两实数根分别为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=1，求：k的值是多少？

Answer 1

分析 根据韦达定理可得x₁+x₂=-k，x₁x₂=1，将其代入到x₁²+x₂²=1，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，解关于k的方程可得k的值，再代回方程检验可得．

解答 解：∵方程x²+kx+k+1=0的两实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-k，x₁x₂=k+1，
∵x₁²+x₂²=1，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴k²-2（k+1）=1，
解得：k=-1或k=3，
当k=-1时，方程为x²-x=0，解得：x=0或x=1；
当k=3时，方程为x²+3x+4=0，方程无解，
∴k=-1．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．