Question

5．如图，函数y=x²-2x-3与坐标轴交于A、B两点，问抛物线上是否存在点C使四边形ABCO为平行四边形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 先根据抛物线的解析式计算出点A、B两点的坐标，假设抛物线上存在一点C，如图，构成?ABCO，设C（x，y），
计算出BC和AO的长，发现不相等，则不存在这样的点C，使四边形ABCO为平行四边形．

解答 解：不存在，理由是：
当y=0时，y=x²-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），
当x=0时，y=-3，
∴B（0，-3），
假设抛物线上存在一点C，如图，构成?ABCO，
设C（x，y），
则BC∥AO，
∴y=-3，
当y=-3时，x²-2x-3=-3，
x（x-2）=0，
x=0或2，
∴C（2，-3），
但AO=1，BC=2，
AO≠BC，
∴四边形ABCO不能构成平行四边形，
故不存在这样的点C，使四边形ABCO为平行四边形．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题和平行四边形的性质，根据坐标表示线段的长，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边平行可知：B与C两点对称是关键，根据纵坐标相等列式可得结论．