Question

9．已知关于x的方程ax²+bx+c=0，其中2a+3b+6c=0．
（1）当a=0时，求方程的根；
（2）当a＞0时，求证：方程有一根在0和1之间．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入2a+3b+6c=0可得c=-$\frac{b}{2}$，将a=0、c=-$\frac{b}{2}$代入方程后求解可得；
（2）令f（x）=ax²+bx+c，根据2a+3b+6c=0可得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{2}$+c=$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c-$\frac{a}{12}$=-$\frac{a}{12}$＜0，由f（0）=c可分c＞0和c≤0两种情况讨论：①c＞0时，由f（$\frac{1}{2}$）＜0、f（0）＞0可知方程有一根在0和1之间；②c≤0时，由f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4a+6b+12c-3c}{9}$=-$\frac{c}{3}$≥0、f（0）=c≤0可知方程有一根在0和1之间，得证．

解答 解：（1）当a=0，由2a+3b+6c=0可得c=-$\frac{b}{2}$，
方程为bx-$\frac{b}{2}$=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$；

（2）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{2}$+c=$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c-$\frac{a}{12}$，
∵2a+3b+6c=0，且a＞0
∴$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c=0，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{a}{12}$＜0，
∵f（0）=c，
①当c＞0时，由f（$\frac{1}{2}$）＜0、f（0）=c＞0可知方程有一根在0和1之间；
②当c≤0时，
∵2a+3b+6c=0，
∴4a+6b+12c=0，
∴f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{9}a$+$\frac{2}{3}$b+c=$\frac{4a+6b+12c-3c}{9}$=-$\frac{c}{3}$≥0，
∴由f（0）=c≤0，f（$\frac{2}{3}$）≥0可知方程有一根在0和1之间；
综上，方程有一根在0和1之间．

点评 本题主要考查二次函数的性质、一元二次方程的解，将方程的解得问题转化为二次函数问题求解是解题的关键．