Question

8．（1）已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC的边长．若（a，b），c分别为⊙M的圆心坐标和半径，则称⊙M为△ABC的“伴侣圆”．
①当△ABC为等边三角形，求方程的根；
②当⊙M与坐标轴有三个交点时，△ABC是C 三角形；
A．等腰      B．直角      C．等腰或直角     D．等边
（2）若一元二次方程（a+c）x²+bx+（a-c）=0的根为-1和$\frac{1}{2}$，且a，b，c为连续的整数．
①求a，b，c的值；
②如图，BC是半圆直径，AB⊥BC，CD⊥BC，边AB，BC，CD的长分别为a，b，c的值，P为半圆上一动点，求多边形ABCDP面积的最大值是2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
（2）利用圆与坐标轴的位置关系即可求得，
（3）①根据三角形的面积公式和射影定理即可得到函数关系式，根据关系式即可求得．
②因为五边形ABCDP的面积=四边形ABCD的面积-△APD的面积，所以只要求出△ADP面积的最小值，
作EF∥AD，且与⊙O相切于点O，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到AD的距离最小，此时△ADP的面积最小，延长即可解决问题．

解答 （1）当△ABC是等边三角形，a=b=c，
（a+c）x²+bx+（a-c）=0，
可整理为：2ax²+ax=0，
2x²+x=0，
解得：x₁=0，x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）若（a，b），c分别为⊙M的圆心坐标和半径，当圆与y轴相切时，a²+b²=c²；当圆与x轴相切时，b=c；
故△ABC是直角或等腰三角形，
故选C．
（3）①∵方程的根为-1和$\frac{1}{2}$，
∴-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{b}{a+c}$，-1×$\frac{1}{2}$=$\frac{a-c}{a+c}$，
∴2b=a+c，c=3a，
∴b=2a，
∵a，b，c为连续的整数，
∴a=1，b=2，c=3；
②∵五边形ABCDP的面积=四边形ABCD的面积-△APD的面积，
∴只要求出△ADP面积的最小值，
作EF∥AD，且与⊙O相切于点O，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到AD的距离最小，此时△ADP的面积最小，
易知AD=2$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（1+3）×2=4=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$•AD•OH+$\frac{1}{2}$•1•3，
∴OH=$\sqrt{2}$，
∴PH=$\sqrt{2}$-1，
∴△PAD的面积最小值为2-$\sqrt{2}$，
∴ABCDP面积的最大值是4-（2-$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$．
故答案为2+$\sqrt{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理等知识，正确由已知获取函数关系是解题关键．