Question

19．直线y=-$\frac{1}{2}$x-1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为-4．

Answer 1

分析 过A作AD⊥BC于D，先求出直线=-$\frac{1}{2}$x-1与x轴交点B的坐标（-2，0），则得到C点的横坐标为-2，由于C点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，可表示出C点坐标为（-2，-$\frac{k}{2}$），利用等腰三角形的性质，由AC=AB，AD⊥BC，得到DC=DB，于是D点坐标为（-2，-$\frac{k}{4}$），则可得到A点的纵坐标为-$\frac{k}{4}$，利用点A在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，可表示出点A的坐标为（-4，-$\frac{k}{4}$），然后把A（-4，-$\frac{k}{4}$）代入y=-$\frac{1}{2}$x-1得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．

解答 解：过A作AD⊥BC于D，如图，
∵y=-$\frac{1}{2}$x-1，
令y=0，则-$\frac{1}{2}$x-1=0，解得x=-2，
∴B点坐标为（-2，0），
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为-2，
∵y=$\frac{k}{x}$，令x=-2，则y=-$\frac{k}{2}$，
∴C点坐标为（-2，-$\frac{k}{2}$），
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴DC=DB，
∴D点坐标为（-2，-$\frac{k}{4}$），
∴A点的纵坐标为-$\frac{k}{4}$，
而点A在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
把y=-$\frac{k}{4}$代入y=$\frac{k}{x}$，得x=-4，
∴点A的坐标为（-4，-$\frac{k}{4}$），
把A（-4，-$\frac{k}{4}$）代入y=-$\frac{1}{2}$x-1，得-$\frac{k}{4}$=-$\frac{1}{2}$×（-4）-1，
∴k=-4．
故答案为-4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质．