Question

7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，点E为AB的延长线上一点，且∠ECB=∠CAD．
（1）①填空：∠ACB=90°，理由是直径所对的圆周角是直角；
②求证：CE与⊙O相切；
（2）若AB=6，CE=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）①根据圆周角定理即可求得；
②连接OC．欲证明CE是⊙O的切线，只需证明CE⊥OC即可；
（2）根据弦切角定理求得BE，进一步求得AC=2BC，根据勾股定理求得AC和BC的值，进一步证得△ADC∽△CBE，得出$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{AD}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{4}$，即可求得AD的长．

解答 解：①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
故答案为90°，直径所对的圆周角是直角；
②连接OC，则∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠BAB，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠ECB=∠CAD．
∴∠BAC=∠ECB．
∴∠ECB=∠ACO，
∵∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ECB+∠OCB=90°，即CE⊥OC．
∴CE与⊙O相切；
（2）∵CE与⊙O相切，
∴CE²=BE•AE，
∵AB=6，CE=4，
∴4²=BE（BE+6），
∴BE=2，
∴AE=6+2=8，
∵△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{BE}$，即$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴AC=2BC，
∵AC²+BC²=AB²，
∴5BC²=36，
∴BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
∵∠ECB=∠CAD，∠CBE=∠D，
∴△ADC∽△CBE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{AD}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{4}$
∴AD=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质等；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．