Question

已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，进而得到∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°-∠ABC=90°，利用SAS得到三角形ABG与三角形ADG全等，利用全等三角形对应角相等得到∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，等量代换得到∠G=∠EAG，利用等角对等边得到AE=GE，由GE=BE+BG，等量代换即可得证．

解答：解：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°-∠ABC=90°，
在△ABG和△ADG中，

AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF

，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，
∴∠G=∠5=∠1+∠3=∠4+∠3=∠EAG，
∴AE=GE=BE+GB=BE+DF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．