Question

15．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连接DP．
（1）DP是⊙O的切线；
（2）若cosA=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为10，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）直线DE与⊙相切．根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2PD，根据锐角三角函数即可求解．

解答 解：（1）连接OP，BP，
∵AB是直径．
∴BP⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DP=DB．
∴∠DBP=∠DPB．
又OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB．
∴∠DBP+∠OBP=∠DPB+∠OPB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OPD=90°，
又∵PO为⊙O半径，
∴DP是⊙O的切线．

（2）∵∠ABC=90°，AB=2×10=20，
∵cosA=$\frac{3}{5}$，
∴AC=$\frac{50}{3}$，
∴BC=$\frac{40}{3}$
∵∠BPC=90°，BD=CD，
∴PD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．