Question

10．已知，如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，求证：∠AFB+∠ACB=45°．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=a，∠B=90°，EC=2a，由勾股定理求出AE=$\sqrt{2}$a，证出$\frac{AE}{EF}=\frac{EC}{AE}$，再由公共角∠AEF=∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出对应角相等∠AFB=∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，
∴∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=a，∠B=90°，
∴EC=2a，AE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{AE}{EF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{EC}{AE}$，
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠AFB=∠EAC，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACB=45°，
∴∠AFB+∠ACB=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．