Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED-FC=BE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，证△BCG≌△FDC，推出CD=CG，∠1=∠2，求出∠DCE=∠ECG，证△DEC≌△EGC，推出ED=EG即可．

解答：证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵DF⊥BC，
∴∠CBG=∠DFC=90°，
在△BCG和△FDC中

BC=DF ∠GBC=∠DFC BG=CF

∴△BCG≌△FDC，
∴CD=CG，∠1=∠2，
∵∠1+∠DCF=90°，
∴∠2+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
在△DEC和△EGC中，

DC=GC ∠DCE=∠GCE CE=CE

∴△DEC≌△EGC（SAS），
∴ED=EG，
∴ED-FC=BE．

点评：本题主要考查对三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．