Question

17．已知二次函数y₁=ax²+4x+b与y₂=bx²+4x+a都有最小值，记y₁、y₂的最小值分别为m、n．
（1）若m+n=0，求证：对任意的实数x，都有y₁+y₂≥0；
（2）若m，n均为大于0，且mn=2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n=0，可以解答本题；
（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn=2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．

解答 解：（1）∵y₁=ax²+4x+b=a（x+$\frac{2}{a}$）²+$\frac{ab-4}{a}$，
∴m=$\frac{ab-4}{a}$，
∵y₂=bx²+4x+a=b（x+$\frac{2}{b}$）²+$\frac{ab-4}{b}$，
∴n=$\frac{ab-4}{b}$，
∵m+n=0，
∴$\frac{ab-4}{a}$+$\frac{ab-4}{b}$=0，即（ab-4）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$＞0，
∴ab-4=0，即ab=4，
∴m=n=0，
∵y₁、y₂的最小值分别为m、n，
∴y₁+y₂≥m+n=0，
∴y₁+y₂≥0；
（2））∵y₁=ax²+4x+b=a（x+$\frac{2}{a}$）²+$\frac{ab-4}{a}$，
∴m=$\frac{ab-4}{a}$，
∵y₂=bx²+4x+a=b（x+$\frac{2}{b}$）²+$\frac{ab-4}{b}$，
∴n=$\frac{ab-4}{b}$，
∵mn=2，
∴$\frac{ab-4}{a}$•$\frac{ab-4}{b}$=2，
解得，ab=2或ab=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{-2}{a}}\\{n=\frac{-2}{b}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{a}}\\{n=\frac{4}{b}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{-2}{a}}\\{n=\frac{-2}{b}}\end{array}\right.$时，
若a＞b，则m＞n，M=$\frac{-2}{a}$，
若a＜b，则m＜n，M=$\frac{-2}{b}$；
当$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{a}}\\{n=\frac{4}{b}}\end{array}\right.$，
若a＞b，则m＜n，M=$\frac{4}{b}$，
若a＜b，则m＞n，M=$\frac{4}{a}$；
由上可得，当a＞b时，M的最小值是$\frac{-2}{a}$；
当a＜b时，M的最小值是$\frac{-2}{b}$．

点评 本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．