Question

12．如图，在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC，PC交AB于M，若∠APC=45°，求$\frac{AM}{BM}$的值．

Answer 1

分析 连接AC，BC，PB，由圆周角定理得到∠ABC=∠APC=45°，由于AB为直径，得到∠ACB=∠APB=90°，由此有∠BAC=∠BPC=45°，得到∠BAC=∠APC，AB=BC，可证得△ACM∽△PCA，根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{PA}=\frac{AC}{PC}$，即AM=$\frac{PA•AC}{PC}$，同理：BM=$\frac{PB•BC}{PC}$，两式相除即可得到结论．

解答 解：连接AC，BC，PB，
∴∠ABC=∠APC=45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠APB=90°，
∴∠BAC=∠BPC=45°，
∴∠BAC=∠APC，AB=BC，
∵∠ACM=∠PCA，
∴△ACM∽△PCA，
∴$\frac{AM}{PA}=\frac{AC}{PC}$，即AM=$\frac{PA•AC}{PC}$，
同理：BM=$\frac{PB•BC}{PC}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\frac{PA•AC}{PC}}{\frac{PB•BC}{PC}}$=1．

点评 本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．