Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=FC，BD=FD，求证：AD是∠BAC的平分线．

Answer 1

分析 利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，则DC=DE，然后根据角平行线性质定理的逆定理可判断AD是∠BAC的平分线．

解答 证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DB}\\{CF=EB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴DC=DE，
而DC⊥AC，DE⊥AB，
∴AD是∠BAC的平分线．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．