Question

11．如图1所示，已知点P为线段AB上一点，△BCP、△PAD是等边三角形．
（1）说明：AC=BD；
（2）求∠DOA的度数．
（3）若把原题中“△BCP和△PAD是两个等边三角形”换成两个正方形（如图2所示），AC与BD的数量和位置关系如何？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得AP=DP，BP=CP，∠APD=∠BPC，再求出∠APC=∠DPB，然后利用“边角边”证明△APC和△DPB全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠PAC=∠PDB，再求出∠OAD+∠ODA=∠PAD+∠PDA=120°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（3）根据正方形的性质可得AP=DP，PB=PC，∠APD=∠DPB=90°，然后利用“边角边”证明△APC和△DPB全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，根据全等三角形对应角相等可得∠PCA=∠PBD，延长AC与BD相交于点H，然后求出∠PAC+∠PBD=90°，从而得到∠AHB=90°，再根据垂直的定义证明即可．

解答 （1）证明：∵△BCP、△PAD是等边三角形，
∴AP=DP，BP=CP，∠APD=∠BPC，
∴∠APD+∠CPD=∠BPC+∠CPD，
即∠APC=∠DPB，
在△APC和△DPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{∠APC=∠DPB}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD；

（2）解：∵△APC≌△DPB，
∴∠PAC=∠PDB，
∴∠OAD+∠ODA，
=∠OAD+∠PDA+∠PDB，
=∠OAD+∠PDA+∠PAC，
=∠PAD+∠PDA，
=60°+60°，
=120°，
在△AOD中，∠DOA=180°-（∠OAD+∠ODA）=180°-120°=60°；

（3）AC=BD且AC⊥BD．
理由如下：∵四边形AEDP和四边形BPCF是正方形，
∴AP=DP，PB=PC，∠APD=∠DPB=90°，
在△APC和△DPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{∠APD=∠DPB=90°}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD，∠PCA=∠PBD，
延长AC与BD相交于点H，
则∠PAC+∠PBD=∠PAC+∠PCA=90°，
在△AHB中，∠AHB=180°-（∠PAC+∠PBD）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD，
综上所述，AC=BD且AC⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图求出∠APC=∠DPB是解题的关键，此类题目，图形变化后的思路相同．