Question

8．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC=15，BE=3，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠E=∠DFC=90°，根据HL推理Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质得出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，即可得出答案．

解答 证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFA=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF=BE，
∵AC=15，BE=3，
∴AB=AE-BE=AF-CF=AC-CF-CF=15-3-3=9．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角的平分线性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．