Question

11．如图，正方形OABC在平面直角坐标系xOy中，过点C作直线y=kx+4（k＜0）交折线OAB于点D，以线段CD为边作正方形CDEF，且点E在第一象限．
（1）填空：点C的坐标是（0，4）；线段AB的长是4；
（2）当点D在线段OA上时，连接AE，试探究∠OAE的度数是否发生变化？若不变，求出∠OAE的度数；若有变化，请说明理由．
（3）若设点E的纵坐标为b，求出b与k的函数关系，并写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得C点坐标，由正方形的性质可求得AB的长；
（2）在OC上取点G，使GC=DA，可证得△CGD≌△DAE，则可求得∠OAE=∠CGD=135°；
（3）过E作EH⊥x轴于点H，可证得△OCD≌△HDE，可求得OD=EH，即可表示出D点坐标，代入直线解析式可求得b与k的关系，当点D到达A点时可知b有最大值4，则可求得k的取值范围．

解答 解：
（1）在y=kx+4中，令x=0可得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB=OC=4，
故答案为：（0，4）；4；
（2）在OC上取点G，使GC=DA，如图1，

∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠GCD+∠CDO=∠CDO+∠EDA=90°，
∴∠GCD=∠ADE，
在△CGD和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=DA}\\{∠GCD=∠ADE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△CGD≌△DAE（SAS），
∴∠CGD=∠OAE，
∵CO=OA，CG=DA，
∴OG=OD，
∴∠OGD=45°，
∴∠DGC=135°，
∴∠OAE=135°，
即∠OAE的度数不发生变化，大小为135°；
（3）过E作EH⊥x轴于点H，如图2，

由（2）可得∠OCD=∠HDE，
在△OCD和△HDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠HDE}\\{∠COD=∠DHE}\\{OC=OA}\end{array}\right.$
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴OD=EH=b，
∴D（b，0），
∴0=kb+4，
∴b=-$\frac{4}{k}$，
∴当k＜0时，b随k的增大而增大，
当点D与A重合时，b有最大值4，代入可得4=-$\frac{4}{k}$，解得k=-1，即k的最大值为-1，
∴b与k的函数关系式为b=-$\frac{4}{k}$（k＜-1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识．在（1）中确定出C点坐标是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中求得D点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．