Question

2．如图①，已知射线AB、CD，且AB∥CD．
（1）如图②，若E为平面内一点，探究∠A、∠C、∠AEC之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若E为平面内任意一点，请依据点E的不同位置分别画出示意图探究∠A、∠C、∠AEC之间的数量关系，并直接写出结论．（注：∠A、∠C、∠AEC均为锐角或钝角）

Answer 1

分析 （1）过点E作直线l∥AB，根据平行线的性质，可得∠A=∠1，∠C=∠2，进而得到∠A+∠C=∠AEC．
（2）依据点E的不同位置分别画出示意图，再作平行线，根据平行线的性质进行推导即可得到∠A、∠C、∠AEC之间的数量关系．

解答 解：（1）∠A+∠C=∠AEC．
证明：如图，过点E作直线l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l∥CD，
∴∠A=∠1，∠C=∠2．
∴∠A+∠C=∠1+∠2，
即∠A+∠C=∠AEC．

（2）∵E为平面内任意一点，
∴需要分类讨论．
①如图：∠A+∠C=∠AEC，
过点E作直线l∥AB，

∵AB∥l，CD∥l，
∴∠A=∠1，∠C=∠2，
∴∠A+∠C=∠1+∠2=∠AEC．
②如图：∠A+∠AEC=∠C，
过点E作直线l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°，∠C=∠CEH=180°．
又∵∠AEH=∠AEC+∠CEH，
∴∠A+∠AEC=∠C．
③如图：∠C+∠AEC=∠A，
过点E作直线l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l∥CD，
∴∠C+∠HEC=180°，∠HEA+∠EAB=180°．
∵∠HEA+∠HEA+∠AEC，
∴∠C+∠AEC=∠A．
④如图：同理可得：∠A+∠AEC=∠C，

⑤如图，∠C+∠AEC=∠A，
过点E作直线l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°．
∵∠C+∠CEH=180°，∠CEH=∠AEH+∠AEC，
∴∠C+∠AEC=∠A．
⑥如图，∠A+∠AEC+∠C=360°．

过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°，
∴∠A+∠AEH+∠CEH+∠C=360°，
即∠A+∠AEC+∠C=360°．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．