Question

6．如图，已知：AD=BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）AB∥CD．

Answer 1

分析 （1）直接由HL得出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，证出AE=CF，再由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DCF，从而得出结论．

解答 证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AFD=∠CFD=∠AEB=∠CEB=90°．
在Rt△ADF和Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行线的判定运用，解答时证明三角形全等是关键．