Question

19．我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|，也可以写成|x-0|，比如|2|=|2-0|=2；
在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x-y|，比如，表示3的点与-1的点之间的距离表示为|3-（-1）|=|3+1|=4；
|x+2|+|x-1|可以表示点x与点1之间的距离跟点x与-2之间的距离的和，根据图示易知：当点X的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点X与点A的距离跟点X和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x-1|的最小值是3，且此时x的值为-2≤x≤1
请根据以上阅读，解答下列问题：
（1）|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时x的值为-1≤x≤2；
（2）|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是3，此时x的值为x=0；
（3）当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义，得出|x+1|+|x-2|的最小值；
（2）根据绝对值的几何意义，得出|x+2|+|x|+|x-1|的最小值；
（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0时，|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5．

解答 解：（1）根据绝对值的几何意义可得，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3，
故答案为：3，-1≤x≤2；
（2）根据绝对值的几何意义可得，当x=0时，|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是3，
故答案为：3，x=0；
（3）由图可得，只有当a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0时，|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5，

∴当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时，a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0．

点评 本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离远点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|．解题时注意分类思想的运用．