Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F
（1）若OA=10，求反比例函数的解析式；
（2）若F为BC的中点，且S△AOF=24

3

，求OA长及点C坐标；
（3）在（2）的条件下，过点F作EF∥OB交OA于点E（如图2），若点P是直线EF上一个动点，连结，PA，PO，问是否存在点P，使得以P，A，O三点构成的三角形是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，若不存在，请说明了理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据∠AOB=60°，得出AHAH=

3

2

a，OH=

1

2

a，求出S_△AOH的值，根据S_△AOF=24

3

，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S_△OBF=12

3

，最后根据S_{平行四边形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P₁，P₂；当∠PAO=90°时，求出P₃；当∠POA=90°时，求出P₄即可．

解答：（1）A（5，5

3

），
解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵∠AOB=60°，OA=10，
∴AH=5

3

，OH=5，
∴A点坐标为（5，5

3

），
根据题意得：5

3

=

k

5

，
解得：k=25

3

，
故反比例函数解析式：y=

25 3

x

（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵∠AOB=60°，
∴AH=

3

2

a，OH=

1

2

a，
∴S_△AOH=

1

2

•

3

2

a•

1

2

a=

3

8

a²，
∵S△AOF=24

3

，
∴S_{平行四边形AOBC}=48

3

，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=12

3

，
∵BF=

1

2

a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=

3

4

a，BM=

1

4

a，
∴S_△BMF=

1

2

BM•FM=

1

2

×

3

4

a×

1

4

a=

3

32

a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=12

3

+

3

32

a²，
∵点A，F都在y=

k

x

的图象上，
∴S_△AOH=

1

2

k，
∴

3

8

a²=12

3

+

3

32

a²，
∴a=8

2

，
∴OA=8

2

，
∴OH=4

2

，AH=

3

OH=

3

×4

2

=4

6

，
∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=48

3

，
∴OB=AC=6

2

，
∴C（10

2

，4

6

）；

（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P₁（6，2

6

），P₂（-6，2）；
当∠PAO=90°时，P₃（-2，2

6

）；
当∠POA=90°时，P₄（10，2

6

）．

点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．