Question

如图，正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，已知P点纵坐标为2．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）试求一次函数y=-x+1的图象与y轴交点坐标M；并求出x负半轴上点N坐标，使四边形PNOM面积为5；
（3）直接写出坐标轴上点Q坐标，使△QPO为等腰三角形．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：应用题,数形结合

分析：（1）先利用一次函数y=-x+1确定P点坐标为（-1，2），然后利用待定系数法确定正比例函数解析式；
（2）把x=0代入y=-x+1得y=1，则可确定M点的坐标为（0，1），设N点坐标为（t，0），由于四边形PNOM面积=S_△PNO+S_△POM=5，根据三角形面积公式
得到

1

2

×2×（-t）+

1

2

×1×1=5，解得t=-

9

2

，所以N点坐标为（-

9

2

，0）；
（3）先利用两点间的距离公式计算出OP=

5

，然后分类讨论：以点O圆心，OP为半径作圆交坐标轴为点（

5

，0）、（-

5

，0）、（0，

5

）、（0，-

5

）；以P点为圆心，PO为半径作圆交坐标轴为点（-2，0）、（0，4）；作线段OP的垂直平分线，则垂足的坐标为（-

1

2

，1），然后确定OP的垂直平分线的解析式，再求出此直线与坐标的交点为（0，

5

4

）、（-

5

2

，0）．

解答：解：（1）把y=2代入y=-x+1得-x+1=2，解得x=-1，
所以P点坐标为（-1，2），
设正比例函数解析式为y=kx，
把P（-1，2）代入得-k=2，解得k=-2，
所以正比例函数解析式为y=-2x；
（2）把x=0代入y=-x+1得y=1，
所以M点的坐标为（0，1），
设N点坐标为（t，0），
∵四边形PNOM面积=S_△PNO+S_△POM=5，
∴

1

2

×2×（-t）+

1

2

×1×1=5，解得t=-

9

2

，
∴N点坐标为（-

9

2

，0）；
（3）OP=

(-1)2+22

=

5

，
Q点的坐标为（

5

，0）、（-

5

，0）、（0，

5

）、（0，-

5

）、（-2，0）、（0，4）、（0，

5

4

）、（-

5

2

，0）．

点评：本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y₁=k₁x+b₁与直线y₂=k₂x+b₂平行，那么k₁=k₂．