Question

2．如图，等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD为AC边上的高．
（1）求证：∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）若∠A为钝角，其它条件不变，画图证明上述结论是否成立；
（3）若∠ABD=40°，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），∠C=90°-∠DBC，等量代换即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠ADB=90°，根据三角形的内角和得到∠C=90°-∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），等量代换即可得到结论；
（3）根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵BD⊥AC，
∴∠C=90°-∠DBC，
∴$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-∠DBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）上述结论成立，如图，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠C=90°-∠DBC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-∠DBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵∠BDC=40°，
∴∠C=50°，
∴∠ABC=∠C=50°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．