Question

6．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$，请你替她完成证明；
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （2）根据∠A=∠ADC=90°，DE⊥CF，证明∠ADE=∠DCF，得到△ADE∽△DCF，得到答案；
（3）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，证明△ADE∽△DCM，得到答案．

解答 （2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，又∵DE⊥CF，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（3）当∠B+∠EPC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．
证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，
则∠CMF=∠CFM，
∵AD∥BC，
∴∠CFM=∠FCB，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，又∵∠B+∠EPC=180°，
∴∠AED=∠FCB，
∴∠CMF=∠AED，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{AD}{CD}$，即$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

点评 本题考查的是正方形、矩形和平行四边形的性质，灵活运用三角形全等和相似的判定和性质、正确作出辅助线是解题的关键．