Question

13．如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②为备用图）
（1）当P在AB上，t=4s时，△APE的面积为长方形面积的$\frac{1}{3}$；
（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的$\frac{1}{3}$，根据题意得：△APE的面积=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{4×6}{3}$，从而求得t值；
（2）①当P运动到AB中点时△AEP为直角三角形，此时∠APE为直角，t=3；②当P运动到BC上时，∠AEP为直角时利用相似三角形求得PB的长即可求得t值．

解答 解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的$\frac{1}{3}$，
根据题意得：AP=t，
∴△APE的面积=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{4×6}{3}$，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的$\frac{1}{3}$；
（2）①当t=3时，AP=3，如图1所示：
∵E为CD的中点，
∴CE=DE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
BC=AD=4，
∴四边形APED是矩形，
∴PE⊥AB，
∴△APE是直角三角形，
②当P在BC上时，若△APE是直角三角形，∠AED+∠PEC=90°，如图2所示：
∵∠ADE=∠ECP=90°，
∴∠AED=∠EPC，
∴△ADE∽△ECP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CE}{AD}$，
解得：CP=$\frac{CE•DE}{AD}$=$\frac{3×3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴PB=BC-PC=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴t=6+$\frac{7}{4}$=$\frac{31}{4}$；
综上所述：当t=3s或t=$\frac{31}{4}$s时，△APE为直角三角形．

点评 本题考查了矩形的性质、直角三角形的判定与性质、三角形面积、动点问题；动点问题更是中考中的热点考题，有一定的难度，解题的关键是能够化动为静，利用直角三角形的性质求解．