Question

5．某人定制了一批地砖，每块地砖（如图（1）所示）是边长为0.5米的正方形ABCD．点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的价格依次为每平方米30元、20元、10元．若将此种地砖按图（2）所示的形式铺设，且中间的阴影部分组成正方形EFGH．设CE=x．
（1）CF=x，S_△ABE=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x．（用x的代数式表示）
（2）已知烧制该种地砖平均每块需加工费0.35元，若要CE长大于0.1米，且每块地砖的成本价为4元（成本价=材料费用+加工费用），则CE长应为多少米？

Answer 1

分析 （1）由四边形EFGH是正方形，根据正方形的对角线相等且互相平分可得CF=CE=x，根据BE=$\frac{1}{2}$-x，由三角形的面积公式即可得出S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-x）；
（2）先根据S_{四边形AEFD}=S_{正方形ABCD}-S_△CFE-S_△ABE，求出S_{四边形AEFD}=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{8}$，再由每块地砖的成本价为4元列出关于x的一元二次方程，求出即可．

解答 解：（1）CF=x，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-x）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x．
故答案为x，$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x；

（2）∵CE=x，则BE=$\frac{1}{2}$-x，CF=CE=x，
∵S_△CFE=$\frac{1}{2}$x²，S_△ABE=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x，
∴S_{四边形AEFD}=S_{正方形ABCD}-S_△CFE-S_△ABE
=（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$x²-（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x）
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{8}$，
由题意得：
30×$\frac{1}{2}$x²+20×（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$x）+10×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{8}$）+0.35=4，
化简得：10x²-2.5x+0.1=0，
b²-4ac=6.25-4=2.25，
∴x=$\frac{2.5±1.5}{2×10}$，
∴x₁=0.2，x₂=0.05（不合题意舍去）．
答：CE的长应为0.2m．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及图形面积求法等知识，借助数形结合得出图形面积关系是解题关键．