Question

2．如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°．点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．

（1）若AF=1，求EF的长；
（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM；
（3）如图2，若点E，F分别是边AB，AD延长线上的点，其它条件不变，结论BM⊥FM是否仍然成立（不需证明）．

Answer 1

分析 （1）根据已知和菱形的性质证明△CBE≌△CDF，得到BE=DF，证明△AEF是等边三角形，求出EF的长；
（2）延长BM交DC于点N，连结FN，证明△CMN≌△EMB，得到NM=MB，证明△FDN≌△BEF，得到FN=FB，得到BM⊥MF；
（3）延长BM交DC的延长线于点N，连结FN，与（2）的证明方法相似证明BM⊥MF．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=DC，∠D=∠CBE，
又∵∠BCE=∠DCF，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF．
又∵AB=AD，∴AB-BE=AD-DF，即AE=AF，
又∵∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AF，
∵AF=1，∴EF=1．
（2）证明：如图1，延长BM交DC于点N，连结FN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM
∵点M是CE的中点，
∴CM=EM．
∴△CMN≌△EMB，
∴NM=MB，CN=BE．
又∵AB=DC．∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．
∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠BEF=120°，EF=DN．
∵DC∥AB，∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=60°，∴∠D=120°，
∴∠D=∠BEF．
又∵DN=EF，BE=DF．
∴△FDN≌△BEF，
∴FN=FB，
又∵NM=MB，∴BM⊥MF；
（3）结论BM⊥MF仍然成立．
证明：如图2，延长BM交DC的延长线于点N，连结FN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM
∵点M是CE的中点，
∴CM=EM．
∴△CMN≌△EMB，
∴NM=MB，CN=BE．
又∵AB=DC．∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．
∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠BEF=120°，EF=DN．
∵DC∥AB，∴∠A+∠FDC=180°，
又∵∠A=60°，∴∠FDC=120°，
∴∠FDC=∠BEF．
又∵DN=EF，BE=DF．
∴△FDN≌△BEF，
∴FN=FB，
又∵NM=MB，
∴BM⊥MF．

点评 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．