Question

7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+bx的图象与x轴交于点A（6，0），△OBC的B点坐标（3，4），C点坐标为（5，0）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）将△OBC沿边BC翻折，点O落在点D，请求出点D的坐标并判断点D是否在二次函数的图象上；
（3）在（2）的条件下，如图2，点E的坐标为（0，8），有一动点P从E点出发沿EO方向以2个单位/s的速度向下运动，过点P的直线l平行于x轴，当点P运动到点O时停止运动，设运动时间为t（s），其中0≤t≤4．请探究直线l上是否存在点H，使得△ODH为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数及相应t的取值范围，不需说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx，求出b的值，即可求出二次函数的关系式．
（2）首先由B、C坐标证得OB=OC，再根据翻折的性质可证得四边形OBDC为菱形，进而判断出四边形BMND是矩形，所以MN=BD=5，DN=BM=4，ON=OM+MN=3+5=8，据此求出点D的坐标，然后把点D的坐标代入抛物线解析式，即可判断出点D是否在二次函数的图象上．
（3）首先求出当l和BD重合时，l和x轴重合时，t的值各是多少；然后分类讨论：①当0≤t＜3-$\sqrt{5}$，t=2或t=4时；②当t=3-$\sqrt{5}$时；③当3-$\sqrt{5}$＜t＜2，或2＜t＜4时；根据△ODH为直角三角形，写出所有满足条件的点H的个数及相应t的取值范围即可．

解答 解：（1）将点A（6，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx，可得
0=$\frac{1}{4}{×6}^{2}$+6b，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴二次函数的关系式是y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x．

（2）如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
，
将△OBC沿边BC翻折，点O落在点D，
∵△OBC的B点坐标（3，4），C点坐标为（5，0），
∴OM=3，BM=4，OC=5，
∴OB=$\sqrt{{OM}^{2}{+BM}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∴OB=OC，
∵将△OBC沿边BC翻折得到△DBC，
∴△OBC≌△DBC，
∴OB=DB，OC=DC，
又∵OB=OC，
∴OB=DB=OC=DC，
∴四边形OBDC是菱形，
∴BD∥x轴，
∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴BM∥DN，
∴四边形BMND是平行四边形，
∵∠BMN=90°，
∴四边形BMND是矩形，
∴MN=BD=5，DN=BM=4，
∴ON=OM+MN=3+5=8，
∴点D的坐标是（8，4），
∵当x=8时，y=$\frac{1}{4}$×8²-$\frac{3}{2}$×8=4，
∴点D是否在二次函数的图象上．

（3）由（2）可得四边形OBDC是菱形，
∴BD∥x轴，
当l和BD重合时，
∵8-2t=4，
∴t=2，点H的个数是2个；
当l和x轴重合时，
∵8-2t=0，
∴t=4，点H的个数是2个；
①当0≤t＜3-$\sqrt{5}$，t=2或t=4时，
点H的个数是2个．
②当t=3-$\sqrt{5}$时，
点H的个数是3个．
③当3-$\sqrt{5}$＜t＜2，或2＜t＜4时，
点H的个数是4个．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数解析式问题的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．