Question

如图，A，B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OB=2．
（1）用直尺和圆规作△ABO的外接圆⊙C（作图不要求写作法，但须保留作图痕迹）；
（2）用直尺和圆规作出点O关于直线AB的对称点D（作图不要求写作法，但须保留作图痕迹）．
（3）BD交AB于E，直接写出CE的长和点E的坐标．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,三角形的外接圆与外心,作图-轴对称变换

专题：

分析：（1）直接作出AB的垂直平分线进而得出C点位置得出答案即可；
（2）利用垂径定理得出D点位置；
（3）利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出CE的长以及E点坐标．

解答：解：（1）如图所示：⊙C即为所求；

（2）如图所示：点D即为所求；

（3）∵点O关于直线AB的对称点D，
∴∠AEO=90°，
∵OA=4，OB=2，
∴AB=2

5

，
∴tan∠OAE=tan∠OAB=

EO

AE

=

1

2

，
设EO=x，则AE=2x，
故4²=x²+（2x）²，
解得：x=

4 5

5

，
AE=2×

4 5

5

=

8 5

5

，
则CE=AE-AC=

8 5

5

-

5

=

3 5

5

，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∵∠EOF+∠AOE=90°，∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠EOB=∠OAB，
∴

EF

OF

=

1

2

，
设EF=y，则OF=2y，
故y²+（2y）²=（

4 5

5

）²，
解得：y=

4

5

，
2y=

8

5

．
故点E的坐标为：（

8

5

，

4

5

）．

点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系和三角形外接圆作法等知识，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．