Question

已知：如图1，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB与⊙O相切．
（2）如图2，连接PA、OP，OP与AB交于点D，且OP∥BC．
①判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由．
②若OP=8，BC=4．求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OB，根据圆周角定理求出∠ABC=90°，由等边对等角及已知条件得出∠PBA=∠OBC=∠C，于是推出∠PBO=90°，再根据切线的判定定理推出即可；
（2）①先由平行线分线段成比例定理得出D为AB中点，结合平行线的性质得到OP是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，由等边对等角及已知条件得出∠PAB=∠PBA=∠C，于是推出∠PAO=90°，再根据切线的判定定理得到PA与⊙O相切；
②设⊙O的半径为r，根据两角对应相等的两三角形相似证明△PBO∽△ABC，得出

OP

AC

=

OB

BC

，代入数据即可求出⊙O的半径．

解答：（1）证明：如图1，连接OB．
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：①PA与⊙O相切，理由如下：
∵OP∥BC，OA=OC，
∴∠ADO=∠ABC=90°，AD=DB，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PAO=∠PAB+∠BAC=∠C+∠BAC=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线；

②如图2，连接OB．设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=r，
∵OP∥BC，∠OBC=∠C，
∴∠POB=∠OBC=∠C．
在△PBO与△ABC中，

∠POB=∠C ∠PBO=∠ABC=90°

，
∴△PBO∽△ABC，
∴

OP

AC

=

OB

BC

，
∴

8

2r

=

r

4

，
∴r=4，
即⊙O的半径为4．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想．