题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=3，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）若点Q在线的CD上移动（不包括C，D两点）．QO与线段AB，CD所成的角∠1与∠2如图所示，给出下列两个结论：①∠1+∠2的值不变；②$\frac{∠2}{∠1}$的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出这个结论，并求出这个值．
（3）在y轴正半轴上是否存在点P，使得S△CDP=S△PBO？如果有，试求出点P的坐标．
分析 （1）依据平移与坐标变化的规律可求的点C、D的坐标，由点的坐标可求得AB、OC的长，从而可求得四边形ABDC的面积；
（2）依据平行的性质可证明∠1+∠2=180°；
（3）设点P的坐标（0，a），然后依据三角形的面积公式列方程求解即可．
解答 解：（1）OA=2，OB=3，
∴A（-2，0）、B（3，0）．
∵将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（0，2）、D（5，2）．
∵由平移的性质可知：AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD为平行四边形．
∴四边形ABDC的面积=AB•OC=5×2=10．
（2）∠1+∠2=180°．
证明：如图1所示；
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠2=180°．
∴∠1+∠2=180°．
∴∠1+∠2为定值．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1．
∴$\frac{∠2}{∠1}$=$\frac{180°-∠1}{∠1}$=$\frac{180°}{∠1}$-1．
∵当点Q在CD上运动时，∠1的度数在不断变化，
∴$\frac{180°}{∠1}$-1在不断变化，即$\frac{∠2}{∠1}$的值在不断变化；
（3）如图2所示：设点P的坐标为（0，a），则PC=（2-a），PO=a．
∵S△CDP=S△PBO，
∴$\frac{1}{2}$DC•PC=$\frac{1}{2}$OB•OP．
∴$\frac{1}{2}×$5（2-a）=$\frac{1}{2}$×3×a．
∴10-5a=3a
解得：a=$\frac{5}{4}$
如图3所示：设点P的坐标为（0，a），则PC=a-2，PO=a．
∵S△CDP=S△PBO，
∴$\frac{1}{2}$DC•PC=$\frac{1}{2}$OB•OP．
∴$\frac{1}{2}×$5×（a-2）=$\frac{1}{2}$×3×a．
∴5a-10=3a．
解得：a=5．
综上所述，点P的坐标为（0，$\frac{5}{4}$）或（0，5）．
点评 本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了平移与坐标变换的规律，平移的性质、平行四边形的性质与判定，三角形的面积公式，分类讨论是解答本题的关键．
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