Question

19．你能比较两个数2013²⁰¹⁴与2014²⁰¹³的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（即是自然数）．然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小
①1²＜2¹  ②2³＜3²    ③3⁴＞4³    ④4⁵＞5⁴  ⑤5⁶＞6⁵  
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较2013²⁰¹⁴与2014²⁰¹³的两个数的大小．

Answer 1

分析 （1）首先求出每组中两个数的值各是多少，然后根据有理数大小比较的方法，比较出每组中两个数的大小即可．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系即可．
（3）根据归纳猜想得到的一般结论，比较出2013²⁰¹⁴与2014²⁰¹³的两个数的大小即可．

解答 解：（1）①1²=1，2¹=2，
∵1＜2，
∴1²＜2¹．

②2³=8，3²=9，
∵8＜9，
∴2³＜3²．

③3⁴=81，4³=64，
∵81＞64，
∴3⁴＞4³．

④4⁵=1024，5⁴=625，
∵1024＞625，
∴4⁵＞5⁴．

⑤5⁶=15625，6⁵=7776，
∵15625＞7776，
∴5⁶＞6⁵．

（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

（3）∵2013＜2014，
∴2013²⁰¹⁴＞2014²⁰¹³．
故答案为：＜、＜、＞、＞、＞、$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．