Question

4．以AD为直径作⊙O，F是半圆弧$\widehat{AD}$上中点，E是半圆弧$\widehat{AD}$上一点，EA=8，ED=6，连接EF交AD于点G，求tan∠AGF的值．

Answer 1

分析 连接AF，FG，过E作EH⊥AD于H，由AD为⊙O的直径得到∠AED=90°，根据勾股定理得到AD=10，根据三角形的面积公式得到EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，求得DH=$\frac{18}{5}$，OH=$\frac{7}{5}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$，求得OG=$\frac{5}{7}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：连接AF，FG，过E作EH⊥AD于H，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵EA=8，ED=6，
∴AD=10，
∴AO=OD=OF=5，EH=$\frac{AE•DE}{AD}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵DE²=DH•AD，
∴DH=$\frac{18}{5}$，
∴OH=$\frac{7}{5}$，
F是半圆弧$\widehat{AD}$上中点，
∴$\widehat{AF}=\widehat{DF}$，
∴OF⊥AD，
∴OF∥EH，
∴△FOG∽△EHG，
∴$\frac{OG}{HG}=\frac{OF}{EH}$=$\frac{5}{\frac{24}{5}}$=$\frac{25}{24}$，
∴OG=$\frac{5}{7}$，
∴tan∠AGF=$\frac{OF}{OG}$=$\frac{5}{\frac{5}{7}}$=7．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．