Question

11．如图，在直角梯形AOBC中，AC平行于OB，且OB=6，AC=5，OA=4，
（1）求出经过B、C两点的直线的解析式：
（2）在边AC和BC（含端点）上分别找到点M和点N，使得△MON的面积最大，并说明理由．
（3）在（2）成立的条件下，是否存在M和N，同时满足△MON的周长还是短？若存在，请求出周长的最小值，并求出此时点M、N的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OB=6，点B在x轴，得到B点的坐标，根据AC∥OB，AC=5，得到点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，因为QN取得最大值是QN=OB时，△MON的面积最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，
（3）设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△OMN面积最大，周长最小．

解答 解：（1）∵OB=6，OA=4，
∴B（6，0），
∵AC∥OB，AC=5，
∴C（5，4），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-4x+24；

（2）如图，

过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，
则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB（点M在线段AC上任意一点），

（3）如图1，

由（2）知，点N和B重合，即：N（6，0），
设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，
此时△MON的面积最大，周长最短，
∵AM∥BO
∴$\frac{AD}{OD}=\frac{AM}{OB}$，即$\frac{4}{8}=\frac{AM}{6}$，
∴AM=3，
∴M（3，4）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，待定系数法，坐标和图形的性质，轴对称的性质等，作出辅助线是本题的关键．