Question

7．已知关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个不等的实数根分别为x₁、x₂（其中x₁＜x₂），设y=$\frac{1}{3}{x}_{2}-{x}_{1}$，判断y是否为k的函数？如果是，请写出函数关系式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当k=0时，方程为以元一次方程，有解；当k≠0时，根据计算配不上得到△=（2k-1）²≥0，则可判断方程有两个实数解；
（2）利用求根公式得到x₁=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，则y=1-（1+$\frac{1}{k}$）=-$\frac{1}{k}$，于是可判断y是k的反比例函数．

解答 （1）证明：当k=0时，方程变形为-x+3=0，解得x=3；
当k≠0时，△=（4k+1）²-4k•（3k+3）=（2k-1）²≥0，方程有两个实数解，
所以不论k为何值，方程总有实数根；
（2）根据题意得x=$\frac{4k+1±（2k-1）}{2k}$，
所以x₁=$\frac{k+1}{k}$=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，
所以y=1-（1+$\frac{1}{k}$）=-$\frac{1}{k}$，
所以y是k的反比例函数．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．