Question

12．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是AB边上一点，且AE=$\frac{1}{4}$AB，⊙O经过点E，若⊙O与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在射线相交于另一点F，且EG：EF=$\sqrt{5}$：2．
（1）求⊙O的半径r；
（2）当边AD或BC所在直线与⊙O相切时，直接写出AE的长；以及⊙O与矩形ABCD边的公共点个数．

Answer 1

分析 （1）连接GO并延长交AB于点H，由切线的性质易得HG⊥CD，由矩形的性质易证得四边形AHGD为矩形，设EG=$\sqrt{5}$m，则EH=m，在Rt△GEH中，由勾股定理易得m，即得EH的长，在Rt△OEH中，由勾股定理可得r的长；
（2）当⊙O与AD相切时，由切线的性质和半径可得AE=1，求出AB的边长可得交点个数；当⊙O与BC相切时，同理可得，此时AE=3，求出AB的边长可得交点个数．

解答 解：（1）连接GO并延长交AB于点H，
∵CD与⊙O相切于点G，
∴HG⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴GH⊥AB，
即GH⊥EF，
∴EH=HF=$\frac{1}{2}EF$，
∵矩形ABCD中，AD=8，
∴∠D=∠A=∠AHG=90°，
∴四边形AHGD为矩形，GH=AD=8，
∴在Rt△GEH中，EG：EF=$\sqrt{5}$：2，
设EG=$\sqrt{5}$m，则EH=m，
∴EG²-EH²=GH²，
则m=±4，EH=4，
在Rt△OEH中，由勾股定理得r²=4²+（8-r）²，
解得：r=5；

（2）当⊙O与AD相切时，此时AE=AH-EH=r-EH=5-4=1，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AB=4，
∴⊙O与矩形ABCD边有3个公共点，如图所示；
当⊙O与BC相切时，
∵EH=4，BH=r=5，
∴BE=4+5=9，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴BE=$\frac{3}{4}$AB，
∴AB=12，
∴AE=3．
∴⊙O与矩形ABCD边有4个公共点，如图所示．

点评 此题主要考查了切线的性质，连接圆心和切点，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．